Complexidade em funções recursivas

Você vai aprender

• Como calcular a complexidade de espaço e tempo para funções recursivas

Pré-requisitos

• Conhecimento de Complexidade de Espaço e Tempo

• Notações assintóticas

Como fazer o cálculo

Para calcular a complexidade de tempo e espaço de uma função recursiva, é necessário entender o número de chamadas recursivas que ocorrem e o tempo e espaço consumidos por cada chamada.

A complexidade de tempo de uma função recursiva é geralmente expressa em termos de notação assintótica, como O(n), Θ(n), ou O(log n). A complexidade de espaço é expressa de forma semelhante, indicando quanto espaço de memória é usado pela função recursiva.

Passo-a-passo

Para calcular a complexidade de tempo e espaço de uma função recursiva, é possível seguir os seguintes passos:

• Identificar o número de chamadas recursivas: Analise a função recursiva para determinar quantas chamadas recursivas são feitas em termos de n, o tamanho da entrada.

• Identificar o tempo e espaço consumidos por cada chamada recursiva: Analise o tempo e espaço consumidos por cada chamada recursiva em termos de n. Isso pode incluir o tempo e espaço necessários para executar a chamada recursiva, bem como para manter a pilha de chamadas recursivas.

• Escreva a equação de recorrência: Com base no número de chamadas recursivas e no tempo e espaço consumidos por cada chamada recursiva, escreva uma equação de recorrência que descreva a complexidade de tempo ou espaço da função recursiva.

• Resolva a equação de recorrência: Resolva a equação de recorrência para obter a complexidade de tempo ou espaço final da função recursiva.

Por exemplo, considere a seguinte função recursiva que calcula o fatorial de um número:

int fatorial(int n) {
  if (n == 0) return 1;
  return n * fatorial(n - 1);
}

A função fatorial faz uma única chamada recursiva com um argumento n - 1.

• Cada chamada recursiva executa uma multiplicação e consome espaço para manter a pilha de chamadas.

• A equação de recorrência para o tempo de execução é T(n) = T(n-1) + O(1), e a equação de recorrência para o espaço é S(n) = S(n-1) + O(1).

• Resolvendo a equação de recorrência, podemos ver que a complexidade de tempo é O(n) e a complexidade de espaço é O(n) também. Isso ocorre porque a função fatorial faz n chamadas recursivas, e cada chamada recursiva consome uma quantidade constante de espaço e tempo.

Note que em funções recursivas mais complexas, o processo de análise pode ser mais complicado e pode ser necessário usar técnicas avançadas, como a substituição, o método mestre ou a árvore de recursão para calcular a complexidade de tempo e espaço de forma precisa.

Links úteis

• Algoritmos: Teoria e Prática de Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest e Clifford Stein - este livro é um clássico na área de algoritmos e é usado em muitos cursos de graduação e pós-graduação em ciência da computação. O capítulo 4, "Divide and Conquer", discute em detalhes como calcular a complexidade de funções recursivas.

• Coursera - Algoritmos, Parte I e Parte II - Estes cursos online gratuitos, ministrados pelos professores Robert Sedgewick e Kevin Wayne, cobrem vários tópicos em algoritmos, incluindo análise de algoritmos recursivos. Os cursos incluem vídeo-aulas, leituras recomendadas e exercícios para prática. (Parte I, Parte II)

• Khan Academy - Algoritmos - A Khan Academy oferece um curso online gratuito sobre algoritmos que inclui uma seção sobre análise de algoritmos. Este curso inclui tutoriais em vídeo, exercícios e exemplos práticos de como calcular a complexidade de funções recursivas. (Link)

• MIT OpenCourseWare - Introduction to Algorithms - Este curso online gratuito do MIT é baseado no livro de Cormen et al. mencionado acima e inclui palestras em vídeo, leituras recomendadas e exercícios práticos. O curso cobre em detalhes como calcular a complexidade de funções recursivas. (Link)

• GeeksforGeeks - Complexity Analysis of Algorithms - O site GeeksforGeeks é um recurso popular para estudantes de ciência da computação e desenvolvedores de software. Ele inclui vários artigos e tutoriais sobre análise de algoritmos e cálculo de complexidade de funções recursivas. (Link)